RC 시정수·차단 주파수 계산기
저항·콘덴서로 RC 시정수 τ, 충전·방전 시간(63 %·99 %), 1차 저역 필터의 차단 주파수와 주파수별 감쇠·위상을 계산하고, 원하는 차단 주파수에 맞는 R·C 를 구합니다.
계산식
- τ = R × C (Ω × F = s)
- 충전: Vc(t) = V × (1 − e^(−t/τ)), 방전: Vc(t) = V × e^(−t/τ)
- 비율 x 까지 걸리는 시간 t = −τ × ln(1 − x), 10→90 % 상승 = τ × ln 9 ≈ 2.2 τ
- fc = 1 ÷ (2π × R × C)
- |H(f)| = 1 ÷ √(1 + (f/fc)²), dB = −10 × log10(1 + (f/fc)²), 위상 = −atan(f/fc)
τ 의 배수와 충전 비율
| 시간 | 충전 (%) | 방전 남은 몫 (%) |
|---|---|---|
| 0.5 τ | 39.3 | 60.7 |
| 1 τ | 63.2 | 36.8 |
| 2 τ | 86.5 | 13.5 |
| 3 τ | 95.0 | 5.0 |
| 4 τ | 98.2 | 1.8 |
| 5 τ | 99.3 | 0.7 |
1차 저역 필터 읽기
- 차단 주파수에서 출력은 입력의 1/√2(−3.01 dB), 위상은 −45° 입니다. 그보다 10배 높은 주파수에서 약 −20 dB, 100배에서 약 −40 dB 로 10배마다 20 dB 씩 줄어듭니다.
- 차단 주파수 아래라도 감쇠가 0 은 아닙니다. fc 의 절반에서 약 −0.97 dB(89 %)이므로, 측정하려는 신호 대역은 fc 보다 충분히 낮게 둡니다.
- 필터 출력은 τ 만큼 늦게 따라옵니다. 계단 변화에 99 % 까지 따라오려면 약 4.6 τ 가 걸리므로, 빠른 응답이 필요한 입력에는 fc 를 너무 낮추지 않습니다.
현장에서 쓰는 곳
- ADC 앞 노이즈 필터: ATmega328P 데이터시트(§23.6.1)는 나이퀴스트 주파수(f_ADC/2)보다 높은 성분을 입력 전에 저역 필터로 없애라고 권합니다. 같은 절은 소스 출력 임피던스를 약 10 kΩ 이하로 두라고도 하므로 R 을 너무 크게 하지 않습니다.
- 스위치·접점 입력의 채터링 줄이기, 리셋 지연처럼 «시간» 을 만들 때는 차단 주파수보다 τ 와 충전 비율을 봅니다.
- PWM 을 RC 로 걸러 아날로그 전압으로 만들 때는 PWM 주파수에서의 감쇠가 남는 리플을 정합니다(1차 필터는 그 주파수에서 |H| 만큼 남음).
자주 묻는 것
10 kΩ 과 100 nF 의 시정수와 차단 주파수는?
τ = 10 000 × 100 × 10⁻⁹ = 1 ms, fc = 1 ÷ (2π × 1 ms) ≈ 159 Hz 입니다.
시정수 1τ 는 몇 % 인가요?
충전은 1 − e⁻¹ ≈ 63.2 %, 방전은 e⁻¹ ≈ 36.8 % 가 남습니다. 3τ 에 95.0 %, 5τ 에 99.3 % 입니다.
50 Hz 노이즈를 1/10 로 줄이려면 fc 를 얼마로?
1차 필터에서 |H| = 0.1 이 되려면 f/fc = √99 ≈ 9.95 이므로 fc ≈ 5 Hz 입니다. 그만큼 응답이 느려지므로(τ ≈ 32 ms) 신호 속도와 함께 정합니다.
필터 뒤에 무엇을 이으면 계산이 바뀌나요?
다음 단의 입력 저항이 C 와 병렬로 붙으면 출력이 분압되고 fc 도 바뀝니다. 다음 단 입력 저항이 R 보다 충분히 크게 고르거나 버퍼를 둡니다.
ADC 분해능과 공학값 환산은 ADC 분해능·스케일링 계산기. 저항 표준 값은 분압 저항 계산기. 주파수별 콘덴서 리액턴스와 LC 공진은 리액턴스·LC 공진 계산기.
근거
τ·충전 곡선·차단 주파수·감쇠·위상은 정의식(회로 이론)으로 계산합니다. ADC 입력 필터 권고는 Microchip ATmega328P 데이터시트(7810D) §23.6.1 Analog Input Circuitry 를 따랐습니다. 실제 부품 값의 허용차는 각 데이터시트를 보세요.